APLIKASI FUNGSI KUADRAT DALAM EKONOMI

A.    KeseimbanganPasar

Cara mencaridanmenganalisiskeseimbanganpasardengankonseppersamaankuadratinipadadasarnyasamadenganpadafungsi linear.

Soal :

JikadiketahuipersamaanpermintaanadalahQd = 16 – P2 danpersamaanpenawaran Qs = -8 + 2P2, padatingkathargadanjumlahberapakahkeseimbanganpasarterjadi?

Penyelesaian :

Diketahui            : Qd = 16 – P²                          Qs = -8 + 2P²

Ditanya    :  Pe ….?                                Qe ….?

Formula keseimbangan :                  Qd        =       Qs

                                                   16 – P²           =        -8 + 2P²

                                                      2P²  + P²     =        16 + 8

                                                               3P²      =        24

                                                                P²       =        24 / 3       =     8

                                                                Pe       =        √8             =     2,83

SubstitusiPe = 2,83kesalahsatupersamaan :         Qd    = 16   –   P²

                                                                                          Qd    =  16  -  (2,83) ²

                                                                                          Qd    =  16  -  8,01

                                                                                          Qd    =  7,99

Jadi, keseimbanganpasarterciptapadahargaRp. 2,83danjumlah 7,99 unit barang.

B.     PengaruhPajakdanSubsidiTerhadapKeseimbanganPasar

Notes :pajakakanmenyebabkanhargakeseimbangannaikdanjumlahkeseimbanganmenurunsedangkansubsidiakanmenyebabkanhargakeseimbanganmenurundanjumlahkeseimbangannaikdibandingkandenganhargadanjumlahkeseimbanganpasarsebelumpajakdansubsidi. Samasepertipadakeseimbanganpasarawal yang diterapkanadalahfungsikuadrat.

Soal :

Jikapadakasus (A) ditambahkanpajakdansubsidisebesar Rp.2, buatlahpersamaankeseimbangan yang barusertatentukanberapahargadanjumlahkeseimbangansetelahpajakdansubsidi!

Penyelesaian :

Diketahui            : Qd = 16 – P²                          Qs = -8 + 2P²                  t = 2                s = 2

Ditanya    :  Pers. Keseimbanganpasar ….?              Q′e ….?             P′e ….?

                      tk ….?                                                        tp ….?                T …..?

Formula keseimbangan :                  Qd           =       Qs

                                                     16 – P²        =        -8 + 2P²

                                                      2P²  + P²    =        16 + 8

                                                               3P²    =        24

                                                                P²     =        24 / 3     

        =       8

                                                                Pe     =        √8             =     2,83

SubstitusiPe = 2,83kesalahsatupersamaan :       Qd    =  16   –   P²

                                                                                 Qd    =  16  -  (2,83) ²

                                                                                 Qd    =  16  -  8,01

                                                                                 Qe    =  7,99

PersamaanPenawaransetelahpajak :                 Qs  =  -8 + 2P²

                                                                                       Qs  =  -8 + 2(P – 2)²

               Qs  =  -8 + 2(P2 – 4P + 4)

                                                                                       Qs  =  -8 + 2P2 – 8P + 8

                                                                                       Q′s  =  2P2 – 8P

Formula keseimbangan :                  Qd               =       Qs

                                                     16 – P²            =        2P² – 8P

                                          2P²  + P²  - 8P - 16    =   0

                                         3P²  - 8P - 16              =   0

Diperoleh : a = 3, b = -8 dan c = -16

Dicaridenganrumusabc :                   P1,2 = - b ± √ b2 – 4ac

                                                                                       2a

                                                                  P1,2 = - (-8) ± √ (-8)2 – 4(3)(-16)

                                                                                       2(3)

                                                                  P1,2 = 8 ± √ 64 + 192

                                                                                    6

                                                                  P1,2 = 8 ± √ 256

                                                                             6

                                                                  P1    = 8 + 16   = 4      

                                                                           6

                                                                  P2    = 8 – 16    = -1,33 (tidakterpakai)

                                                                             6

SubstitusiP′e = 4 kesalahsatupersamaan :     Qd    = 16   –   P²

                                                                              Qd     =  16  -  (4) 2

                                                                              Qd     =  16  -  16

                                                                              Q′e     = 0

Jadi, hargakeseimbangansetelahdipengaruhipajakberubahdariRp. 2,83 menjadiRp. 4 danjumlahkeseimbanganberubahdari 7,99 unit menjadi 0 unit. Inimembuktikanteoripengaruhpajakterhadapkeseimbanganpasar yang membuathargakeseimbangannaiksehinggamengakibatkantingkatpermintaanpasarmenurun.

PersamaanPenawaransetelahsubsidi :        Qs   = -8 + 2P²

                                                                        Qs  = -8 + 2(P + 2)²

      Qs   = -8 + 2(P² + 4P + 4)

                                                                        Qs  = -8 + 2P² + 8P + 8

                                                                        Q′′s = 2P² + 8P

Formula keseimbangan :                  Qd               =       Qs

                                                  16 – P²               =        2P² + 8P

                                          2P²  + P²  + 8P – 16  =   0

                                          3P²  + 8P - 16            =   0

Diperoleh a = 3, b = 8 dan c = -16

Dicaridenganrumusabc                     P_1,2 = - b ± √ b² – 4ac

                                                                                       2a

                                                                  P_1,2 = - 8 ± √ 8² – 4(3)(-16)

                                                                                       2(3)

                                                                  P_1,2 = -8 ± √ 64 + 192

                                                                                       6

                                                                  P_1,2 = -8 ± √ 256

                                                                                    6

                                                                  P₁    = -8 + 16  = 1,33 

                                                                                 6

                                                                  P₂    = -8 – 16    = -4 (tidakterpakai)

                                                                                 6      

SubstitusiPe = 1,33kesalahsatupersamaan :         Qd    = 16   –   P²

                                                                                          Qd    =  16  -  (1,33) ²

                                                                                          Qd    =  16  -  1,77

                                                                                          Q′e    = 14,23

Jadi, hargakeseimbangansetelahdipengaruhisubsidiberubahdariRp. 2,83 menjadiRp. 1,33 danjumlahkeseimbanganberubahdari 7,99 unit menjadi 14,33 unit. Inimembuktikanteoripengaruhsubsiditerhadapkeseimbanganpasar yang menurunkanhargakeseimbangansehinggamembuattingkatpermintaanpasarmeningkat.

C.    Break Event Point (BEP)

BEP adalahsuatukondisidimanaperusahaantidakmemperolehkeuntunganmaupunmengalamikerugian (π = 0). Fungsiinidibentukbersamaolehfungsibiayadanfungsipenerimaan, sehinggakurvanyajugaberupa parabola terbukakebawahdankeatas. Besarnyabiayaproduksi yang dikeluarkan (C= Total Cost) samadenganbesarnyahasilpenjualan (R = Total Revenue). Bentukumumdaripersamaan BEP adalah :

R  =  C                        →        Kondisipulangpokok/impas

Cara mencaridanmenganalisis BEP denganmenggunakankonseppersamaankuadratinisamadenganpadafungsi linear.

Contoh :

Jikadiketahuifungsipenerimaandinyatakandalampersamaan R = -Q² + 10Q danfungsibiayadinyatakandalampersamaan C = – 3Q² + 5Q +10. Padatingkatproduksiberapa unit terjadititikpulangpokok?

Penyelesaian :

Diketahui :  R = -Q² + 10Q        dan     C = – 3Q² + 5Q +10

SyaratBEP :         R = C

Persamaan :         -Q² + 10Q = – 3Q² + 5Q +10

                              -Q² + 10Q + 3Q² - 5Q -10 = 0

                              2Q² + 5Q -10 = 0

Diperoleh a = 2, b = 5 dan c = -10

Dicaridenganrumusabc                     Q_1,2 = - b ± √ b² – 4ac

                                                                                       2a

                                                                  Q_1,2 = - 5 ± √ 5² – 4(2)(-10)

                                                                                       2(2)

                                                                  Q_1,2 = -5 ± √ 25 + 80

                                                                                       4

                                                                  Q_1,2 = -5 ± √ 105

                                                                                    4

                                                                  Q₁    = -5 + 10,25        = 1,31 

                                                                                     4

                                                                  Q₂    = -5 – 10,25    = -3,81 (tidakterpakai)

                                                                                     4  

SubstitusiPe = 1,31kesalahsatupersamaan :                R = -Q² + 10Q

                                                                                          R = -(1,31)² + 10(1,31)

                                                                                          R = -1,72 + 13,1

                                                                                          R = 11,38 = 11,4

                              C = – 3(1,31)² + 5(1,31) +10

                              C = – 5,15 + 6,55 +10

                              C = – 3Q² + 5Q +10

                              C = 11,4                                        π  =  R  -  C =  11,4 – 11,4  =  0

D.    KeuntunganMaksimumdan  Kerugian Minimum

Sepertihalnya BEP, fungsiinijugadibentukbersamaolehfungsibiayadanfungsipenerimaan. Untukmendapatkangambarantentangbesarnyakeuntunganmaksimumataukerugian minimum samadengancaramencarititikpuncak (titikpuncak). Jika a < 0 makakeuntunganmaksimumdanjika a > 0 makakerugian minimum. Bentukumumnya:

                 

                  R  <  C                         →        Kondisirugi

                  R  >  C                         →        Kondisiuntung

Sehingga :   π  =  R  -  C               →        π  :  Keuntungan

Contoh1 :

Jikadiketahuifungsipenerimaandinyatakandalampersamaan R = -Q² + 10Q danfungsibiayadinyatakandalampersamaan C = – 3Q² + 5Q +10, tentukanlahpersamaankeuntungannya!.Berapakahkeuntungan/kerugianmaksimum/minimum?

Penyelesaian :

Diketahui :          R = -Q2 + 10Q                       C = – 3Q2 + 5Q +10              

Ditanya    :           Pers. π....?                  πmax/min....?                

Formula :

π  =  R  -  C                      →        π  = -Q² + 10Q – (– 3Q² + 5Q +10)

                                                      π  = -Q² + 3Q² + 10Q - 5Q -10

                                                      π  = 2Q² + 5Q -10

Diperoleh a = 2, b = 5 dan c = -10

Karena a > 0 makakerugian minimum

Besarnyakeuntungan (π) dapatdicaridenganmenggunakanrumus :

k = -(b² - 4ac)

                                          4a

Atau                     k = -b² + 4ac

                                          4a

                              k = -(5)² + 4(2)(-10)

                                              4(2)

                              k = -25 - 80

                                           8

                              k = -105

                                        8

                              k = -13,125

Jadi, kerugian minimum (πmin) adalahRp. (13,125)

Contoh2 :

Jikadiketahuifungsipenerimaandinyatakandalampersamaan R = -3Q² + 15Q danfungsibiayadinyatakandalampersamaan C = – Q² + 5Q +10, tentukanlahpersamaankeuntungannya!.Berapakahkeuntungan/kerugianmaksimum/minimum?

Penyelesaian :

Diketahui :          R = -3Q² + 15Q                     C = – Q² + 5Q +10               

Ditanya    :           Pers. π....?                  πmax/min....?                

Formula :

π  =  R  -  C                      →        π  = -3Q² + 15Q – (– Q² + 5Q +10)

                                                      π  = -3Q² + Q² + 15Q - 5Q -10

                                                      π  = -2Q² + 10Q -10

Diperoleh a = -2, b = 10 dan c = -10

Karena a < 0 makakeuntunganmaksimum

Besarnyakeuntungan (π) dapatdicaridenganmenggunakanrumus :

k = -(b² - 4ac)

                                          4a

Atau                     k = -b² + 4ac

                                          4a

                              k = -(10)² + 4(-2)(-10)

                                               4(-2)

                              k = -100 + 80

                                           -8

                              k = -20

                                      -8

                              k = 2,5

Jadi, keuntunganmaksimum (πmax) adalahRp. 2,5